O que que a Física tem que a Geometria não tem?

Luiz Sergio Coelho de Sampaio, com a colaboração de amigos. Rio de Janeiro, Setembro de 2001

Depois de algum tempo de conversa errante, agora
perdida - magneticamente registrada, por certo, seria
memorável! -, chegamos a algumas perguntas que
naquela hora aguda acreditamos fundamentais: Quantos
pontos cabem num só ponto? Qual o UM (ente
irredutível, porque como tal im-posto) e o ZERO (o nulo)
da geometria? Qual a diferença essencial entre o
discurso discreto aritmético e o contínuo geométrico?
Enfim, o quê que a geometria tem, que a física não tem?
Ou vice-versa? E, matutando um pouco mais a fundo
acerca das relações entre o mundo físico e a matemática,
indagávamos: É mesmo verdade que encontramos
sempre entre os guardados ou podemos construir uma
estrutura formal que se ajuste na perfeição ao mundo
físico? Seria isto um argumen to suficien te para se
reduzir a física à geometria? Ou, o que disto decorre:
estender a discriminação de raça/ gênero ao espaço
cósmico, admitindo a existência de buracos negros
SOVInas, porém, para compensar tamanha "desdita",
também a de buracos brancos pródigos? Como foi
possível meter objetos físicos num espaço geométrico?
Foi uma boa solução acabar com tal contra-senso
liquidando de vez com os objetos físicos, como fez a
Relatividade Geral? Não teria sido menos cruel e mais
edificante criar um "espaço físico" para os seus
respectivos entes, inclusive, guardando um recanto, um
subespaço flat para nossos corpos (pelo menos,
enquanto vivos na ativa)? Como é possível explicar e
"corrigir" as assimetrias direcionais - isto é, todas,
excluídas as de caráter aleatório - da radiação de fundo,
sem a postulação de um "espaço absoluto"? Poderia o
universo apenas como tal deixar de estar em "repouso
platônico" absoluto? Por que apenas fótons e neutrinos
participam da radiação de fundo, com a exclusão dos
gravitons, se estes nos parecem ser tal qual fótons,
apenas tendo seus spins internos montados de maneira
J
antiparalela, portanto, indestrutível, além de ser um dos
mais vetustos testemunhos fósseis?
Quase três horas e meia depois, de mais idas do
que vindas, entrando por becos escuros estreitos sem
saída senão engrenando marcha a ré, retomando vezes a
fio à linha de partida, caindo em vórtices e sendo
expelidos a qualquer ângulo, chegamos afinal a
resultados, que pela velocidade e pletora, se nos
afiguram, alguns, ainda como de valor não decidido (por
isso os estamos apressadamente divulgando, para que
logo possam topar por aí com críticos inteligentes e
severos, vale dizer, tão escrupulosos quão se disponham
à impiedade (2)).
Já agora postos numa ordem bem razoável, ou perto,
seriam eles:
a) Um elemento geométrico - segmento linear ou
aberto topológico - contém, por definição, pelo menos,
dois pontos distintos, ou seja, não coincidentes; esta é
uma postulação onto-lógica incontornável, pois
estamos a tratar justamente com a res extensa e a
lógica diferencial (D)própria a pensá-Ia;
b) O ponto então só pode ser o elemento nulo (ZERO)da
geometria métrica ou topológica. Onde cabe um ponto
cabe uma infmidade (~1) deles. Por isso, também,
todos os pontos de um segmento de reta cabem num
outro bem menor, e os destes num ainda menor e
assim por diante, de modo contínuo até chegar a um
só ponto. Gerar uma linha com pontos é algo
semelhante a gerar os inteiros a partir do conjunto
vazio. Gerar uma linha pelo "movimento" de um ponto
chega a ser engraçado; podemos gerar uma trajetória
dirigindo uma carro que há, mas não movendo um
ponto que não há. Disso e mais aquilo depreende-se
que, necessariamente, o elemento geométrico mínimo
2
ou irredutível - segmento ou conjunto aberto -, ainda
assim, contêm uma infinidade (~1) de pontos;
c) A geometria press~põ: a ín~mi~u.de (de 8rdem ~ 1)
enquanto que sua irma, a aritmética, a requer como
conseqüência; logo, a geometria admite a infinitude a
priori e a aritmética, ao contrário, se vê obrigada a
aceitá-Ia a posteriori.; eis aí uma diferença crucial.
Daí porque aritmetizar a geometria só pode mesmo
levar a aporias, pois a infinitude estará sendo
considerada, ao mesmo tempo, um a posteriori e a
pnon;
d) Os transfinitos cantorianos são, dito com todo
respeito, transcontínuos, desde que sigamos com
completo rigor o próprio critério etimológico usado por
Cantor; que quer isto dizer?
e) A mecânica quântica é incompleta, não porque Deus
jogue dados, mas porque a res extensa é lógicodüerencial
(D) e a matemática tem por essência
almejada, a lógica duplamente diferencial (D/D),
portanto, mais restritiva: em suma, temos aqui mais
um caso de cobertor curto, como foi magistralmente
demonstrado por Gõdel. Em conseqüência, a
Relatividade Geral ou é inútil consistente ou útil
paraconsistente. Ademais, conclui-se que é impossível
uma teoria unificada nos termos em que hoje se a
\y~,\<jLN concebe. ~
, f) O nosso universo não pode ser puro-geométrico.
Sendo ele por definição o fundo de todos os fenômenos
fisicos, apenas por contê-Ios, deve ser-lhes ontologicamente
igual ou superior. O fundo é
essencialmente excesso e não falta absoluta de
fenômenos fisicos. O universo como fundo, já diz o
nome, é o conjunto quase homogêneo das radiações
de fundo, que além de fótons e neu trinos precisa
também conter gravitons e, especialmente, partículas
de Higgs, articulando espacialidade e materialidade.
3
Buracos, negros, brancos e túneis de verme ligandoos,
nem falar!
Vamos a seguir tentar justificar, o quanto isto nos
seja possível, cada uma das assertivas anteriores.
Se perguntássemos por aí de que são feitos linhas,
planos, espaços e hiperespaços certamente a maioria
absoluta das resposta fosse: de pontos. Temos na
memória um exemplo conspícuo em Vilém Flusser que,
sem dúvida, parece feito de encomenda:
A coisa extensa tem estrutura pontual: corpos podem
ser decompostos em planos, planos em retas, retas em
pontos. (3)
o leigo aqui se veria certamente referendado pelo
matemático profissional com sua definição de espaço em
geral como Rn, o conjunto de todas as ênuplas de
números reais (pontos). Entretanto, esta concepção -
sem dúvida, pragmática -, é enganosa tanto quanto o é
gerar números inteiros a partir do conjunto vazio, como
acreditava poder fazê-lo o engenhoso Frege (4). O
elemento constitutivo de um simples segmento de reta,
por exemplo, terá que ser um elemento geométrico com
pelo menos dois pontos distintos, vale dizer, não
coincidentes. Isto significa que um tal segmento terá que
ter uma extensão não nula, ou seja, que seus extremos
não sejam indistintos. Trata-se aqui de uma exigência
imediata da lógica da espacialidade , isto é, da lógica da
simples diferença (D)à qual estão adjudicados os valores
próprios 1, O e -1 (5). Onde não for possível discriminar
estados opostos especulares, 1 e -1 (como os extremos
do elemento linear, ou, no caso de conjuntos,
dentro/fora, aberto/fechado, âmago/borda) não se pode
ainda falar com propriedade de espaço. A representação
canônica (6) da lógica da simples diferença (D)é bastante
4
esclarecedora: justamente um segmento horizontal de
reta. Em contraste, a representação canônica da lógica
transcendental, da identidade ou da temporalidade é um
par de segmentos de reta verticais (na verdade um
"estreito" circuito fechado), uma pirâmide numa só
dimensão, em que os extremos são designados pelo
mesmo, símbolo - I ou D/o = I -, evidenciando que, a
rigor, eles são indistintos.{Ver figura 1)
I/D I/D/D
II
D D I
Figura 1 - Representação canônica das lógicas
Nestas circunstâncias, que deveríamos então
entender como ponto? Diríamos que ponto designa o
elemento nulo dos espaços geométricos em geral. Ele
funciona tanto como o nulo conjuntista, quanto como
nulo categorial (7), pois, podemos adicionar um ponto a
um ou outro extremo de um elemento geométrico sem
que ele se altere. ° ponto é o elemento nulo (ZERO)da
geometria ou seja, o nada-de-extensão no mundo da res
extensa
A situação aqui reproduz em linhas gerais a dos
números naturais, na qual o elemento UM sendo posto
determina um lugar ZERO, cujo conteúdo tem a função
de dissimular haver número onde, na verdade, não o há
nem pode haver. Há, sim, por baixo do referido
simulacro, uma fenda abissal, isto é, Nada (de número).
(Ver lado esquerdo da figura 2)
O lugar do zero será preenchido a posteriori, isto é,
depois de determinado o outro do UM (o DOIS); no caso
5
dos números naturais o preenchimento será feito pelo
Zero. Na geometria, começa-se também impondo um
elemento UM - um segmento linear fundamental, por
exemplo -, o qual determina o "lugar" de um Nada de
segmento que só terá -seu-conteúdo --determinado a
posteriori, isto é, depois de especificado o outro do
segmento de partida. Caso seja um segmento contendo
propriamente o anterior, ou um segundo segmento
continuando o primeiro, o nulo de segmento será um
ponto. O Ponto é o nulo da geometria e não seu
elemento unitário de partida.
o nulo do monóide o nulo da geometria
Figura 2 - O elemento nulo na aritmética e na geometria
Quando definimos espaços Rn e objetos geométricos
como conjunto de pontos de Rn estamos, em certa
medida, oferecendo uma tautologia, pois R já pressupõe
a noção de continuo. Rn não pode ser um conjunto de
pontos, pois pontos não têm dimensões e assim não
podem produzir extensões assim como somando zeros
não se pode produzir qualquer número autêntico, a não
ser que apelemos à "lei dialética" da transformação de
quantidade em qualidade! Isto não significa de maneira
alguma que Dedekind estivesse equivocado; muito pelo
contrário, isto é perfeitamente acorde com a idéia de que
não importa onde incida um corte em R, sempre lá ele há
6
de encontrar um número real. Isto decorre de uma
propriedade metafisica (no sentido próprio atual do
r/ermo) do fio da faca e d~ ~enor ou maior (infinita) sorte
;quanto ao ponto que ela Ira pegar.
Tudo -.isto ..se· ..reproduz ...passando-se ...ao âmbito
topológico: o elemento geométrico será um aberto não
vazio, o outro, um aberto contendo propriamente o
primeiro e o zero topológico novamente um ponto. É por
isso que na axiomatização da teoria dos conjuntos (por
exemplo, Zermelo-Franckel) exige-se que o conjunto
potência se constitua num monóide em relação à
operação de união de conjuntos (8). O que não se
percebe, e ainda pior, não se percebe que não se percebe,
é que à noção de ponto corresponde a noção de conjunto
vazio e não à de elemento de conjunto! Por que?!
Onde couber um ponto, caberá uma infinidade deles,
tal como somando-se zeros fica-se sempre em zero ou
unindo conjuntos vazios não se vai além dele mesmo, a
acumulação podendo ser infinita enumerável e até ter a
dimensão do contínuo (~1). Cantor demonstrou que num
segmento de reta há, pelo menos, ~ 1 pontos;
acrescentamos nós, que o mesmo vale necessariamente
para qualquer elemento geométrico. Esta demonstração é
de fato verdadeira, mas trivial, porque, pela mesma
chega-se à conclusão que num' ponto há também ~ 1
pontos, como mostra a figura 3.
Assim, gerar uma linha com apenas pontos é
semelhante a gerar os inteiros a partir tão só do conjunto
vazio, como pretendeu Frege; não dá! É possível gerar
um segmento de reta pela adição de segmentos
elementares, mas não de pontos. A idéia de se gerar uma
linha pelo deslocamento de um ponto é ainda mais
esdrúxula. Como já dito, podemos determinar uma
trajetória dirigindo um carro que há, mas não movendo
um ponto que não há.
7
00 pontos , "
\~ I,,'',' " 00 pol0s,'
I , \ ,,,
\ ',' '~~ontos "1ponto =00 pontos
superpostos ou
indistintos
. J ;' :,'i
Figura 3 - Pontos num ponto
Agora, sim, torna-se fácil perceber qual a diferença
essencial entre geometria e aritmética: a primeira,
pressupõe a infmidade (~d enquanto que a segunda a
tem que admitir como um limite. Na geometria a
infinitude é a priori, enquanto na aritmética ela vem a
posteriori. É esta sua diferença essencial. À mesma
conclusão chega intuitivamente Flusser, anteriormente
citado, embora, para expressá-Io, se valha uma vez mais
da absurda "metafísica de pontos":
A aritmética tem estrutura "vazia": entre dois números)
por mais próximos que sejam um do outro) há intervalo.
A geometria tem estrutura «cheia": os pontos na linha
se tocam. Se adequo a aritmética à geometria, infinitos
pontos escapam por intervalos entre os números. (9)
Os transfinitos cantorianos com toda certeza não o
são; para falar fracamente - e guardando a intenção
etimológica do inventor da teoria dos conjuntos -, eles
são transcontínuos. Isto parece-nos muito importante
8
na medida em que nos obriga a admitir que os infinitos
aritméticos iriam muito além do infinito geométrico, que
consideramos de medida idêntica àquela do contínuo.
Esta dificil questão fica aqui ainda em aberto.
Por outro lado, aritmetizar a geometria só pode levar a
aporias, pois a infinitude estará sendo considerada, ao
mesmo tempo, um a posteriori e a priori teorético; isto só
seria exeqüível pelo extermínio do tempo, ou até pior, da
própria múmia metafisica do tempo!
Passemos agora à até hoje confusa problemática das
relações entre a matemática e a fisica.
A mecânica quântica é incompleta, não porque Deus
goste de se divertir jogando dados - como queria Einstein
- ou dardos num ponto ("metageométrico") como alvo,
mas porque a res extensa é contingente, por natureza
lógico-diferencial (D) e a matemática se quer lógicaduplamente-
diferencial (DfD). Por cima, a lógica clássica
(Df D) imperando e, por baixo, submissa, a lógica da
diferença (D): eis aí a reafirmação do paradigma
neoliberal em terreiro clássico-formal, que, mais cedo ou
mais tarde, irá se mostrar roto e amarfanhado. De um
lado, haverá pelo menos uma dobra ou sobra
inconsistente; caso contrário, do outro, haverá um furo
ou sobra incompleta, como já foi engenhosamente
demonstrado por Gõdel (10). (Verfigura 4)
Muita tinta e teclado já foram gastos no intuito de
explicar a "surpreendente" adequação da matemática à
fisica. Em primeiro lugar notariamos que esta adequação
não é assim tão estreita, daí porque foi necessário criar o
cálculo do aleatório, que não calcula o mundo fisico, mas
tão apenas a probabilidade de acontecimentos desse
mundo.
9
D/D terceiro excluído
FtSICA
CLAsSlCA
?
~,~~:bgW.WM~Mla,,:pfiMBfu1F'a:;:#!'&i';§!~~
vti
D paracompleto D paraconsistente
AfECANICA. PELTIVJ!)lillE:;
QUA~VTICA. .GE1(~..L·"'UT~i:~3
LI y_. 1I
I
TEORIA
UJ.\7FICADA
IMPOSSÍVEL
Figura 4 - O estatuto das Relatividade Geral
Um defensor ferrenho desta tese de harmonia
preestabelecida poderia resistir se dizendo ainda assim
maravilhado com o fato que o cálculo de probabilidades
possa calcular com tamanha "precisão" a probabilidade
dos acontecimentos do mundo. Afirmamos que ele de
certo modo está certo, mas por razões bem diferentes
daquelas que julga possuir; trata-se de mero truísmo.
A relação fisica/fnatemàtica não é milagrosa, mas, de
certa maneira, a priori; ela já está inscrita no interior
mesmo da matemática, como evidencia o teorema de
Gõdel. Aessência da questão está em que, de um lado, a
fisica, desde Descartes, é ou tem como condição
essencial a res extensa governada pela lógica da
diferença (D).De outro lado, a matemática, provindo da
linguagem natural pelo congelamento ou neutralização
de seus poderes lógico-identitário s, mantém ativas não
apenas a lógica clássica ou formal (D/O), mas
igualmente a lógica da diferença (D). Assim, a tensão
entre res extensa (D)e res calculada (D/D) está posta no
interior mesmo da matemática. Falamos numa tensão
para designar, seja um belo e óbvio acordo (afrnal, a
10
lógica clássica D/D provém da lógica da diferença D),
seja um radical desacordo (D/D, como tanto trombeteia
a psicanálise, recalca D).
Em conseqüência, caímos num dilema: ou a
Relatividade Geral é uma teoria inútil consistente
(porque tão clássica como a mecânica newtoniana ou
crente; crente na auto-suficiência da lógica formal), ou,
útil paraconsistente (simétrica à mecânica quântica,
ambas complementares, como os estados de um sofrido
maníaco-depressivo). Se for este último o caso, deve-se
concluir que é impossível uma teoria unificada nos
termos em que hoje se a concebe, com ou sem ajuda de
cordas dóceis ou ataduras. (Ver,uma vez mais, figura 4)
O universo não pode ser geométrico. Sendo ele por
definição o fundo de todos os fenômenos físicos, precisa
contê-Ias, logo precisa ser-lhes logicamente igual ou
superior. O fundo é onto-logicamente excesso e não falta
absoluta de fenômenos físicos; mais precisamente, ele
resulta de uma cornucópia de movimentos que se
compensam. Logo, todo movimento precisa ser relativo a
um absoluto repouso. Como Platão já dissera no Sofista
(11), o repouso vem depois e não antes do movimento. O
universo como fundo, já diz o nome, é o conjunto quase
homogêneo das radiações de fundo - neu trinos e fótons,
já por todos admitidos, mais, partículas de Higgs e
gravitons. Os neutrinos, fótons e gravitons - porque
destituídos de massa - são elementos parageométricos
ou elementos físicos semelhantes a pontos e linhas; no
esquema de formalização da física; a partícula de Higgs
"liga" a parageometria á materialidade propriamente dita.
(Verfigura 5)
Concluindo, diríamos que a noção de buraco negro
soa-nos absurda. Einstein mesmo acreditava que assim
fosse, mas não conseguiu provar que sua teoria da
Relatividade Geral o proibisse. De fato, ele não percebeu
(ou não quis perceber) que buracos negros eram uma
11
possibilidade implícita na gravitação newtoniana, que
acabara herdada pela Relatividade Restrita e assim
passara a Relatividad~~Geral. Sua proibição precisava ser
explicitamente imposta, o que jamais se teve a ousadia
de fazer (12).
GEo.M.ETFUA Processo
de produção
do DOIS
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PARTÍCULA
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~~,{T4E.RL4.LIDADE
Figura 5 - Materialidade do mundo
Agora, a noção de ponto como nulo da geometria mostra
a absurdidade do buraco negro como singularidade.
Tendo-se que admitir um elemento de linha de extensão
não nula, o cliname (relação massa/raio, no caso de uma
esfera homogênea) que determina a velocidade de escape
(v2= 2mav) não pode jamais ter valor infmito. Ora, sendo
limitado, que outro valor poderia ter senão o cliname de
Planck: ap = c2/2G, que justamente impede que a luz
escape do campo gravitacional em questão? Poderíamos
estar incorrendo em equivoco? Talvez, mas para sermos
empiricamente contestados, em se acreditando na
própria Relatividade Geral, precisaremos esperar o fim
12
•,
dos tempos, quando então teríamos a oportunidade de
observar, pela primeira vez, o exato momento da caída de
uma simples partícula elementar no interior do raio de
Schwarzchild de algum concentrado material!
13
IC
,
Notas
)t Como era de hábito, reunimo-nos na sexta-feira, 31 de agosto
I ~ • de 2001, em tomo de uma mesinha à frente do café no andar
térreo do prédio do IFCS - presentes, desta vez, Marsel Seabra,
Francisco Barreto Araújo, Amauri Pinto, Arcangelo Zattera
Neto, Juriêne da Silva Vitória e eu. Comprometemo-nos com
três regras básicas: 1) dar tempo a que o pensamento
comparecesse, pois ele não estava ainda acostumado a vir por
aquelas bandas; 2) não trapacear; 3) só usar as lógicas em
último caso; elas sempre ditam a solução, mas precisamos
antes saber bem qual é o problema. Boa parte do que aqui vai,
nasceu deste papo ou de seus inúmeros aprofundamentos e
conseqüências. Não é preciso enfatizar que cada um saiu dali
com sua visão particular; esta é a nossa, isto é, a minha.
2. Isto exclui, naturalmente, pessoas como o excepcional
professor Doutor Mário Guerreiro.
3. FLUSSER, Vilérn, Pós-História, São Paulo, Livraria Duas
Cidades, 1983. p. 51
4. SAMPA10, L. S. C. de Finiios e transfinitos lembrando o peixe
em meu aquário - bem posto mas obtuso - apenas nada, como
fosse seu paralelepípedo de vidro a medida exata do absoluto.
Rio de Janeiro, 200l.
5. A lógica da diferença D é formalmente representada por um
operador D com a propriedade D(D(D(\jJ)=D(\jJ). Valores próprios
do operador D são os números A que simultaneamente
satisfazem. a equação característica de D, vale dizer,
D(D(D(\fJ)=D(\jJP).ara mais detalhes ver SAMPAIO,L. S. C. de,
Lógica da Diferença, Rio de Janeiro, EdUERJ, 2001
6. BARBOSA, Marcelo Celani, As Lógicas - São Paulo, Makron
Books, 1997. pp. 35-40 ou SAMPAIO, L. S. C. de, Lógica
ressuscitada - Sete ensaios, Rio de Janeiro, EdUERJ, 2000, pp.
131-133
7. Na teoria das categorias, os elementos nulos são os
automorfismos sobre os objetos entre os quais, em geral,
operam morfismos. Na geometria haveria um ponto para cada
um dos extremos de um segmento linear. Acrescentando-se o
respectivo segundo ponto de um lado ou de outro, o segmento
não se altera.
8. SAMPA10,L. S. C. de, Lógica ressuscitada, op. citocapo 3.
14
Isto também fica evidente quando associamos biunivocamente
ponto em Rncom vetores em Rn; estes vetores formam um grupo
para a operação de soma de vetores, portanto, constituem um
monóide dotado, a mais, com a propriedade de existência
universal do vetor inverso. Ao ponto de referência estará
naturalmente associado o vetor de coordenadas zero.
9. FALUSSER,Vilém, ibid.
10.0 teorema de Gõdel, apesar de citado por toda gente, a nosso
juizo, ainda não teve sua significação compreendida em toda
sua amplitude. A tentativa de impor a lógica formal ou do
terceiro excluído (DjD) a um sistema suficientemente rico para
conter a aritmética elementar implica, mediatamente, a
existência de uma lógica da diferença (se o sistema formal for
consistente, ele será necessariamente incompleto, e vice versa)
(D), e, imediatamente, a existência de um sujeito lógico
transcendental capaz justamente daquela prova (1). Esta
última conclusão se deve, ainda que em termos metafóricos, a
Lacan que afirmava: se Vx~(x) => 3-~(x). E se existe a lógica
formal DjD - e, com isto, a j, isto é, a síntese dialética
generalizada que a estrutura -, que, segundo Gõdel, implica D
e, segundo Lacan, implica I, então é forçoso aceitar que exista
IjD (a dialética, tão maldita pelos formalistas). E como tudo
isto precisa ser bem administrado, deve existir sua síntese
geral, ljDjD, a lógica de Kurt Gõdel, enquanto este pode
resistir ao desmoronamento paranóico, D.
11.PLATÃO,Le Sophiste, Paris, Les Belles Lettres, 1994
12. Com a operação do telescópio Chandras e a recente localização
de uma gigantesca concentração de matéria no centro da Via
Lactea, estamos já bem próximos da comprovação empírica do
que aqui se afirma. Para mais detalhes ver SAMPAIO,L. S. C.
de. The octect of the physical beings - vacuum, the class of
fermions and bosons mediating natural forces, Porto Alegre,
www.editoraeletronica.net.1998
i,q
"
15