Lógica das constantes universais

Luiz Sergio Coelho de Sampaio

Rio de Janeiro, junho de 1997

Such proposals have two common factors (..): theyaim to
show Einstein was wrong in some way and they are total/y
committed to lhe deduction of lhe numerical values of
constants of Nature from some sequence of mysterous
combinatorical juggling that occasionally incorporates
considerations as abstruse as lhe dimensions of Great
Pyramid or lhe interpretauon ofthe Jewish cabbala.
John D. Barrow, Theories of everything


Sumário

1. Preliminares

2. A questão do justo critério de seleção

3. Um critério radical de seleção; algumas exclusões e
argumentos para tanto

4. A justificação das três constantes fundamentais

5. As conseqüências


I. Preliminares

Desde Galileu, portanto muito antes do advento da mecânica
quântica, o operacionalismo doutrinário já exercia o seu domínio
fazendo, entre outras coisas, com que a medida deixasse de ser
algo metafisico (melhor diríamos, extra-fisico) e viesse a se
integrar á essência da cientificidade moderna. Aliás, a nosso ver,
seria isto, bem mais do que o empirismo e o discurso axiomatizado
já praticados e estimados pelos gregos, o que melhor caracterizaria
o ser moderno no âmbito daquela cientificidade.

A mecânica quântica veio, sim, "operacionalizar o
operacionalismo'' através da introdução de axiomas que
formalizavam de maneira explícita a mensuração e suas
conseqüências perturbadoras. A integração teórica da medida
tem como corolário imediato a impossibilidade da existência de
leis exatas neste domínio: toda as leis científicas seriam doravante
inexorável e intrinsecamente aproximativas e/ou probabilísticas;
logo, indigna dos deuses!

Os enormes êxitos da mecânica quântica, tanto de predição
ta maior aproximação até hoje obtida entre o calculado e o
medido), como integrativos tem toda a história da fisica foi a
teoria que, de um só golpe, veio explicar o maior número de
fenômenos e ainda sugerir a existência muitos outros),
concomitantes à vitória da interpretação de Copenhague contra
aqueles que insistiam em contestar a completude da teoria quântica
- que tinham entre seus epígonos até o próprio Einstein -, só
fizeram ainda mais reforçar o império operacionalista (o paralelo,
com alguma antecipação, ao desfecho da Segunda Guerra Mundial
seguido do desmoronamento do socialismo real e a conseqüente
entrada em cena do pensamento único não é de modo nenhum
fortuito).

4

Tudo isto pode parecer hoje uma verdade assentada e
definitiva, e o operacionalismo (do mesmo modo que o neo­
colonialismo-social-democrata) uma exigência incontornável a
tudo que pretenda o estatuto da respeitabilidade científica. Seria de
justiça lembrar algumas exceções notáveis como Newton, Dirac e
mais particularmente Einstein [2] que, embora não conseguisse
apresentar argumentos inteiramente sólidos para sustentar sua birra
contra o empirismo operacionalista., jamais abandonou sua
profunda intuição de que seu métier tangenciava o sagrado,
buscava desvelar as equações que governavam a obra de um Deus
sério e exato que não se permitia, por isso mesmo, ares de
descontraçào atirando dados a esmo.

Tudo se tinha assim por decidido, não fora a própria
essência da Física que, como já demonstramos em trabalhos
anteriores, só é moderna no semblante e pela escrita, mas antiga e
nostálgica em sua objetividade recôndita. Assim como a filosofia
representava para os gregos a busca do ser um, que fora lógica e
defrnitivamente perdido pelo próprio advento daquela cultura., a
física é o saber desejante, logo já impossível, do ser uno/trino,
próprio à cultura cristão patrística, recalcado pelo advento
mesmo da modernidade com sua lógica (do terceiro excluído
ou da dupla diferença), seus protocolos, seus indefectíveis
instrumentos e procedimentos de medida. Ver Princípio
antropico [3] e também Apontamentos para uma história da fisica
moderna [4].

Nestas circunstâncias, o aludido operacionalismo, e com ele
o "aproximacionismo" e/ou indeterminismo em estado puro, seria
apenas a cena de uma outra cena, uma máscara, uma
espetacularidade propositadamente auto-enganadora. Precisamente
por isso é que, mal grado a doutrina operacionalista dominantente,
podemos, carecemos e continuamos a discutir - ainda que nas
margens, dobras e desvãos do mundo, a revelia do terror

acadêmico -, o estatuto lógico das leis físicas (como igualmente
das leis "inexoráveis" do capitalismo financeiro globalizante).

Discutir este estatuto é não só discutir sua forma funcional
formalizada (proporcional a ... , inversamente proporcional ao
quadrado de ... , decaindo exponencialmente com ... , etc.), como
também a essência dos paràmetros numéricos que ali comparecem
(as constantes fisicas). Dentre os últimos, um pequeno grupo se
destaca e recebe o estatuto de universalidade - as constantes físicas
fundamentais. Segundo Planck, pai de uma das mais importantes
constantes universais - a constante h de Planck -, estas se
constituiriam em pedras angulares dafisica teórica [5]. Para John
Borrow, autor de Theory of everythings, as constantes universais
teriam um papel crucial no progresso do nosso entendimento do
mundo fisico:

Each really major advance in physical science goes hand
in hand with a revision or extension of our understanding o/some
constant of:Vature.[6]

o nosso principal propósito no presente trabalho será o de
justificar o critério de seleção das constantes universais ou
fundamentais, proceder ao seu inventário e esclarecer acerca de
sua essência melhor diríamos, do seu estatuto lógico.

2. A questão do justo critério de seleção

Um grande número de importantes constantes comparece
nas equações fisicas - constantes gravitacional, de estrutura fina,
de Hubble, carga do elétron, número de A vogrado, velocidade da
luz no vácuo, penneabilidade elétrica do vácuo, etc. -, porém há
um acordo tácito que dentre elas apenas umas poucas devem ser
consideradas como fundamentais. De modo geral, há muito pouca

variação acerca de qual deva ser este elenco. As duas grandes
questões que aqui se levantam seriam, pois: primeiro, qual o
critério por trás deste acordo tácito; segundo, quantas e quais, em
definitivo, as constantes que deveriam ser consideradas como
realmente fundamentais.

No que diz respeito ao critério de inclusão, embora nem
sempre isto seja posto de modo explícito e taxativo, é a vinculação
da constante às grandes teorias fisicas - a constante gravitacional
(G) com a teoria gravitacional de Newton e com a relatividade
geral: a velocidade da luz no vácuo (c), com o eietromagnetismo,
com a relatividade restrita e com a eletro-dinârnica quântica
(QED); a constante de Planck (h) com a mecânica quântica e, uma
vez mais, com a QED; a constante de Boltzmann (k) com a teoria
cinética dos gazes e com a mecânica estatística em geral; a
constante de Hubble (H) com a teoria cosmológica do Big Bang ; a
constante de estrutura fina (a) com o eletromagnetismo enquanto
responsável pela coesão intra-atômica; e assim por diante.

Gilles Cohen- Tannoudgi - talvez o único fisicos que se
preocupou em escrever um livro especificamente dedicado às
constantes universais - defende enfaticamente que as constantes
universais representam, na verdade, limiares epistemológicos:

Tout au long de I 'ouvrage, je me suis efforcé de montrer
que les constantes universelles traduisent des limitations de
principe que s 'imposent à I 'homme dans son rapport cognitif avec
Ia nature, des limitations qu 'il ne serait pas raisonable de ne pas
admettre.[7]

Tendo implícita a vinculação às grandes teorias e bem
explícita, como se viu, a essência limitante cognitiva, Cohen­
Tannoudji [8] estabelece que as constantes universais
fundamentais seriam quatro: a velocidade da luz (c), a constante de
Planck (h), a constante gravitacional (O), constante de Boltzmann

7

(k), ele mesmo reconhecendo que a inclusão desta última não seria
de reconhecimento unânime.

Podemos, em princípio, colocar sérias questões, não só
acerca da essência proposta para as constantes, mas também com
respeito à coerência da escolha:

a) Na hipótese de terem por essência constituírem-se em limiar
cognitivo, por que seriam quatro as constantes? Por que não
cinco, como os nossos sentidos? Ou muito mais, quantas são as
grandezas fisicas? Ademais, como se justificaria por aí o seu
peculiar conjunto de fórmulas dimensionais?

b) Por que não está presente nenhuma constante vinculada à
mecânica newtoniana, que afinal é a mãe de todas as teorias
fisicas modernas; isto se toma ainda mais grave quando vemos
incluída uma constante vinculada a mecânica estatística
(constante de Boltzmann) que é uma teoria completamente
tributária daquela mecânica?

c) Se as forças da natureza são quatro, por que apenas a gravitação
(G) se faz ali representar? Ou as outras três constantes
representariam, ainda que de maneira encoberta, as outras três
forças?

d) As constantes, por essência, entrariam nas respectivas teorias
como valores limitativos (h/4n, como momento angular mínimo
de um fermion; c, como o velocidade máxima de transporte de
energia ou massa); por que isto não é igualmente válido para G,
embora possa ser argüido em favor da inclusão de k (sabendo-se
que kT mede um valor mínimo, energia por partícula por grau
de liberdade )?

A nosso juízo, as constantes fundamentais se constituiriam,
sim, em valores limiares, porém, de estofo onto-lógicos e não
epistemológico, como quer expressamente Cohen-Tannoudji.
Apenas subsidiariamente, cremos, é que elas seriam limitantes

o

cognitivos. Com esta mudança de essência, ver-se-a adiante,
teremos como justificar sem ambigüidades um número
determinado de constantes fundamentais, bem como suas
peculiares fórmulas dimensionais. As constantes universais
estariam de fato amarradas a teorias fundamentais, desde que
pudéssemos mostrar: primeiro, que as teorias se caracterizam
justamente pela aceitação da correlata limitação; segundo, que
existe uma razão para o desconhecimento até hoje do limiar
referente à constante gravitacional; por último, que existe também
uma razão para a não inclusão de uma constante vinculada à
mecânica newtoniana.

É preciso ter cuidado para não concluir apressadamente que
uma determinada escolha de constantes fundamentais é incoerente
por não encontrarmos as correspondentes teorias a que se
vinculariam. A incoerência pode estar alhures, na própria visão
que temos do conjunto histórico das teorias físicas. Esta hipótese,
aliás, é bastante plausível, conforme mostramos em Apontamentos
para uma história dafisica moderna [9].

<>

3. Um critério radical de seleção; algumas
exclusões e argumentos para tanto

Nossa hipótese básica seria, pois, que as constantes
universais fundamentais são valores de compromisso, portanto,
valores limites que impõe a interdependência das dimensões
logicamente determinadas do ser fisico - tempo (I), espaço (D) e
matéria (IID). I representa a lógica da identidade, transcendental ou
da temporal idade, D, a lógica da diferença ou da res extensa e IID,
a dialética, lógica do uno-trino, lógica síntese das anteriores [10].
Como são apenas três estas dimensões, três também serão as
constantes universais fundamentais.

A mecânica newtoniana, sabemos, foi a teoria que fixou o
quadro das dimensões fundamentais, deixando-os, entretanto,

9

'a

como três absolutos: tempo absoluto, espaço absoluto e
material idade absoluta. Com esta simples observação, fica
plenamente justificado porque não lhe pode corresponder qualquer
constante. A história da fisica a partir de então, isto é, na
modemidade, é aquela do processo de des-absolutização destas
dimensões pela invenção de "mecânicas" restritas, estabelecendo
compromissos parciais, inicialmente duas a duas, entre aquelas
dimensões buscando, ao cabo, o seu comprometimento conjunto (o
uno-trino) [11]. De fato, as constantes universais marcam cada
uma destas "mecânicas": c, a relatividade restrita, comprometendo
tempo e espaço; h, a mecânica quântica, comprometendo tempo
(ou freqüência, o que é o mesmo) e matéria; G, a gravitação
newtoniana e a relatividade geral - que deveriam, mas não o fazem
-, estabelecendo um comprometimento entre espaço e matéria. É
precisamente este comprometimento que pode dar conta do
aparentemente injustificado naipe das suas fórmulas dimensionais.

O par c e h caracteriza, precisamente, a eletro-dinàmica
quântica, que estabelece uma primeira articulação tempo-espaço­
matéria, porém o comprometimento ainda é aí "linear", e não
plenamente estrutural, "triangular", como precisaria ser; por isso
ainda ansiamos por uma teoria unificada tUT) ou teoria de todas­
as-coisas (TE). O fato de que G não se constituir em valor limite
[12] seria justamente o grande obstáculo à unificação da fisica.
Deste modo, tomar como paradigma para a construção de uma
teoria unificada a relatividade geral, e não a mecânica quântica ou
a e1etro-dinàmica quântica é, a nosso ver, o grande erro estratégico
que hoje embarga o progresso da fisica teórica.

Este critério, é verdade, exclui muitas outras constantes;
acreditamos que valeria a pena comentar pelo menos três delas: a
constante de estrutura fma (n), o número mágico (Nm) e a
constante de Boltzmann (k). Caso, de modo coerente com os
princípios que regem nossos sistemas de medidas, utilizássemos
unidades de energia para a medição da temperatura, a constante de

..

10

!
.-·1

Boltzmann seria um número puro e, assim, as três constantes aqui
arroladas, teriam em comum, constituirem-se em números
adimensionais.

A maioria dos fisicos e filósofos da fisica acredita que o
número de- constantes possa de fato ser reduzidas a medida que
caminha o processo de unificação da fisica, porém, um pequeno
número se tomará irredutível, fazendo parte das condições
estruturais a priori do universo. Entretanto, alguns poucos ­
cremos que por convicção ateista ou megalomaníacas -, alimentam
esperanças de que, a medida que o processo reducionista avance,
as constantes possam ser endogenamente determinadas.
Obviamente, na circunstância, as constantes passariam a ser
números puros ou adimensionais, como o são os acima
selecionados.

Espíritos especulativos de alto cotumo acreditaram que esta
hora já havia chegado. O mais arrojado de todos foi Arthur
Eddington, que tentou "deduzir" o valor da constante de estrutura
fina (l/a = 21tcq2/h, q sendo a carga do elétron em u.e.m.) a partir
das dimensões do espaço-tempo [l J]. O valor de l/a foi de início
empiricamente estimado em 136, depois em 137, porém, hoje, já
com pelo menos sete algarismos significativos - 136,0359 -, fica
por terra todo o esforço feito por Eddington de determiná-Io apenas
a partir das dimensões do mundo.

Embora não a tenhamos citado, a carga elétrica (qe) também
deve ser excluída do seleto conjunto das constantes fundamentais
porque, justamente através de lia, ela mantém uma relação
constante com duas das constantes já arroladas - q, 2 = U. h/21tc -,
o que, de certo modo, mostra que o empenho de Éddington não
era errado, mas talvez apenas prematuro.

É ainda ele mesmo que repara na coincidência de alguns
grandes números, alguns relacionando, como seria de se esperar,
grandezas micro e macro-fisicas: a relação raio do Universo/raio

11

I)

"

clássico do elétron; a relação das forças eletromagnética e força
gravitacional entre dois elétrons (c2 q//GIl1e2); a raiz quadrada do
número de barions no Universo, todos, na ordem de 1031} a 104°.
Dirac - o principal formulador da QED -, entusiasmado com a
coincidência, desenvolve um modelo cosmológico em que algumas
constantes universais chegavam a variar com o tempo, inclusive G,
de sorte a manter constantes aqueles grandes números (Nm) [14].
Na realidade, a coincidência existe, mas ninguém acredita que
Eddington e Dirac tenham trazido alguma luz para esclarecê-Ia,
não havendo, portanto, uma boa razão para a inclusão de Nm no
rol das constantes fundamentais. Não é preciso dizer que a grande
maioria dos fisicos olha com extrema desconfiança este tipo de
especulação.

Quanto à constante de Boltzmann, cremos que ela deve ser
liminarmente excluída porque a mecânica estatística é
completamente tributária da mecânica newtoniana.
Conseqüentemente, a questão de sua inclusão ou não resume-se à
questão aqui já superada de que se possa ter uma constante
vinculada a esta última teoria.

4. A justificação das três constantes fundamentais

A constante de velocidade (c), já presente na teoria eletro­
magnética de Maxwell, se fixa e universaliza, sabemos, com a
teoria da relatividade restrita: ela é determinada como a
velocidade da luz no vácuo e na ausência de significativo campo
gravitacional. Mas esta sua determinação não é o seu sentido. Este
último reside precisamente no comprometimento que a referida
teoria impõe a tempo T e espaço L ( não pode haver mudança de
posição de algo - massa ou energia sob quaisquer formas - sem
um mínimo de tempo decorrido). Não se trata em absoluto, como
frequentemente se assevera, da redução do tempo ao estatuto de

12

-

'" I

o

e

quarta dimensão do espaço, que assim de fato aparece apenas por
força de uma mera conveniência retórica formal. O quadrado da
velocidade da luz no vácuo não é uma constante circunstancial de
proporcionalidade entre, por exemplo, energia de massa Eo e massa
em repouso Il1Q (E, = Il1QC2); ela aqui está justamente por se
constituir num valor limite que traduz um genuíno
comprometimento entre temporalidade e espactalidade
"exigi da" por um terceiro personagem em jogo - a massa (ou
energia, tanto faz). Em outras palavras, por haver matéria e não tão
somente nada (de matéria) é que espaço e tempo deixam de ser
independentes ou completamente ortogonais e passam a depender
um do outro. Este comprometimento significa, enfim, a des­
absolutização de tempo e espaço instaurada pela mecânica
newtoniana.

Eis aí a essência ou significação da constante velocidade da
luz no vácuo, que faz com que eia e suas potências apareçam como
constantes de proporcionalidade não apenas no exemplo escolhido,
mas em múltiplas outras fórmulas, vale dizer, em seu aspecto de
universalidade. Temos também como importante consequência
disto o fato de que todas as grandezas fisicas onde ocorre a massa
(M) e que difiram apenas em potências da velocidade (L DT")
devam ser consideradas como equivalentes, isto é, como
constituindo apenas modos diversificados de manifestação de um
mesma entidade t1sica. Assim, por exemplo, seriam equivalentes
M (massa), ML1r1 (quantidade de movimento) e ML2T2
(energia), como também, Mt (spin), ML (momento estático) e
MI}r1 (momento angular).

Tratamento semelhante pode-se dar à constante de Planck h.

Esta só aparece como uma constante de proporcional idade - entre,
por exemplo, energia E e freqüência v de um raio luminoso
(E = hv) - na medida em que ela se constitui num valor de
compromisso entre tempo e material idade, ou o que é o mesmo,
entre materialidade e freqüência. A constante h/4n é o valor

=: >~'... ~:.':_~: ~~ ~~:~

";":;~"'( ,.~;.: .'. -'\,. _ .. ~

" .,.~. : .....

. _~.,.,:.";.'". --I

.r' -r ~_ c.:-·,;.· •. ,.,;. ";;.

o

t>

mínimo do momento angular de uma partícula, próprio (spin) ou
orbital, imposto pela mecânica quântica.

Os bosons de spin "zero" não passam de uma aparente
exceção na medida em que, necessariamente, se desintegram
sempre, ao cabo, em pares de partículas com spins anti-peralelos

o . o

não nulos. Por exemplo, K (s=O) ~ 21t (s=O) ~ 4y (s=±l) ~

8e (s=±1/2). Assim, podemos concluir que não existe matéria sem
um valor mínimo de momento angular, e que os bosons são, na
verdade, partículas compostas de partículas de spin Vz, que se
compensam - spin zero - ou se somam - spin inteiro.

Caso defrnamos coerentemente o spin mínimo de um
fermion como uma grandeza s, de dimensão MT, então teríamos
h = 41tsoc2. O leitor já terá percebido que pouco impona se
tomamos como constante universal h ou So , porém, é de suma
importância atentar para o fato de que sua universalidade provém
do comprometimento entre duas dentre as três grandezas físicas
fundamentais - no caso, M e T - e não da sua eventual ocorrência
como valor de proporcionalidade em uma qualquer equação da
fisica.

Que o comprometimento entre M e T decorra da presença
uma terceira grandeza - no caso, o espaço L - não é aqui tão
óbvio quanto no caso visto anteriormente da velocidade da luz,
mas existe. De fato, é preciso ter em conta que não estamos
propriamente no terreno da fisica, mas das condições lógicas ou a
priori de sua possibilidade num sentido bem kantiano. O momento
angular próprio é exatamente o que garante a relativa identidade ou
a impenetrabilidade dos fermions no espaço [15].

Bem, sendo três o número de grandezas fundamentais
(T, L e M), e tendo em conta que a velocidade da luz c traduz um
comprometimento essencial de tempo T e espaço L pela presença
de um terceiro (a massa M), posto à luz pela relatividade restrita
e, ainda, que h reflete o mesmo tipo de comprometimento, agora,

14

"

e,

entre M e T pela presença de um terceiro (o espaço L), explicitado
pela mecânica quântica, que outra coisa se poderia esperar que
não a existência de uma terceira constante universal fechando o
círculo, isto é, forçando um comprometimento essencial entre
massa M e espaço L pela presença de um terceiro (o tempo T)?

Alguém mais apressado poderia tomar a questão como uma
simples charada e valendo-se tão apenas de conhecimentos
elementares de fisica dá-Ia por facilmente resolvida: tratar-se-ia da
constante gravitacional G. Aceitemos provisoriamente a resposta,
porém, consideremos: onde estaria o comprometimento essencial
entre M e L? E mais, estabelecido ele especificamente por qual
teoria física?

Com um pouco mais de leitura o nosso apressado
personagem, por certo, agora se superaria. Sem titubear ele
apontaria a relatividade geral como resposta à segunda questão
informando que esta teoria tem como essência exatamente a
identificação de densidade de massa com curvatura local do
espaço no contexto de uma geometria riemanniana. Ainda poderia
dar -se ao luxo de acrescentar o detalhe de que tanto faz
considerarmos G ou c212G = ap (que nós mesmos temos o vezo
de denominar c1iname de Planck) L 16 J, em que este último tem
fórmula dimensional onde entram justamente M e r" ou seja, Mr;l,
à semelhança exata do spin s, , cuja fórmula dimensional
compreende M e T. Aparentemente perfeito! A destinação
desejante da física, como por nós definida na introdução deste
trabalho, estaria assim cumprida e atestada: três seriam as
"pessoas físicas" - T, L, e M - porém, absolutamente unas,
visto que nenhuma delas de per si constitui um absoluto em
virtude da existência das três constantes universais c, h e G
comprometendo ou inter-limitando os pares possíveis,
respectivamente, {T, L}, {T, M} e {L, M}. Ver figura 1.

Entrementes, as dificuldades para unificação da QED com a
relatividade geral continuam intactas. Alguma coisa, portanto, não

o

15

estaria aí funcionando adequadamente: referimo-nos de modo
específico à relação matéria/espaço. A relatividade geral não
estabelece entre estas um relacionamento de mútua limitação,
mas exatamente o contrário, na medida que, para nós
surpreendentemente, procede à sua pura e simples identificação.

As constantes

uno/trinitária

. .

UnIVerSaIS

como

estrutura

Figura 1

•

Exatamente por isso, a constante G não estaria assumindo o
papel de um verdadeiro inter-limitante, como já mostramos serem
os casos de c e h.

Ademais, G estava posto desde hà muito pela lei da
gravitação newtoniana, cujo grande pecado, enfatizado pelo
próprio Einstein [17] era justamente o de absolutizar as
grandezas espaço e tempo paralelamente à absolutização da
massa também lá implícita e, de certo modo, referendada pela
famosa lei de Lavoisier. Poder-se-ia contra-argumentar que G
traduz uma limitação do cliname, isto é, que ap seria precisamente
este limite ou comprometimento. Aliás, Einstein [18] pensou que
assim fosse e tentou demonstrar que esta limitação estava implícita

16

•

na relatividade geral. Poucos meses após ele ter publicado seu
artigo neste sentido, Oppenheimer e Snyder [19] traziam à luz um
outro demonstrando como, no contexto mesmo da relatividade
geral formavam-se buracos negros, podendo-se daí concluir, com
certeza, que tal limitação não era de modo algum implícita à
relatividade geral.

Estas duas questões são perfeitamente equivalentes: seria
precisamente a vigência daquele valor como um limite o que
impediria um colapso gravitacional para além do raio de
Schwarzschild [20], ou seja, da ocorrência de consumados buracos
negros. A propósito, quanto a isto, os físicos são de uma cândida
incoerência: aceitam que a constante de Planck se constitua em
um valor mínimo para o momento angular, que o comprimento de
Planck seja o valor mínimo mensuràvel de uma distância, que o
mesmo se possa afirmar relativamente ao tempo de Planck, mas o
c1iname de Planck, abstrusamente, pode ser ultrapassado sem o
menor constrangimento!

Para agravar tudo isso, sabe-se que a medida do tempo de
aproximação ao limite de eventos (superfície esférica determínada
pelo raio de Schwarzschild) tende para o infinito para um
observador convenientemente afastado, o que tem como
conseqüência que a consumação observàvel da queda de algo num
buraco negro seria posterior a todos os eventos finitos do mundo
deste observador, em especial, a sua própria duração de vida. A
constatação da existência de um buraco negro pelo sumiço nele de
uma só partícula que fosse é algo rigorosamente impossível de ser
algum dia observado. Onde fica, nestas circunstâncias, a tão
decantada profissão de fé positivista e/ou operacionalista?!

É oportuno observar que é precisamente por aí que podemos
compreender a questão do comprometimento massa/espaço vis-à­
vis o tempo, tal como o comprometimento tempo/espaço foi
exigido pela matéria ( por traz disto, é óbvio, esta a essência uno­
trinitária do ser físico). Uma compactação além do raio de

17

o

Schwarzschild somente pode ocorrer depois de um tempo inftnito,
para além da eternidade, quando não faz mais sentido que se fale
do tempo! A participação essencial do tempo, proíbe a
singularidade material.

Cohen-Tannoudji - que também defende a essência
limitativa das constantes fundamentais, ainda que de um ponto de
vista epistemológico -, reconhece que G deveria assumir uma
função limitante, mas não o faz, conquanto alimente ele a
esperança de que tal venha ocorrer no quadro de uma gravitação
quântica onde G está associado a c e h [21]. O mesmo autor,
declara a seguir que a limitação cognitiva em questão seria aquela
do observador não poder dizer se ele está ou não em movimento,
inspirado certamente no já famigerado caso do elevador em que se
estando lá fechado, não se pode dizer se se está em movimento
acelerado ou atraído por uma massa.

Não podemos concordar com isto porque, a nosso juizo, G
precisa estabelecer uma limitação relativa, especiftcamente, entre
espaço e massa por si subsistentes na presença do tempo, e não
apenas entre espaço e tempo como ele propõe, pois está já está
posta por c.

A figura 2 possibilita-nos uma visão de conjunto da
problemática das constantes universais e deixa bastante evidente
como ela é completamente dependente da problemática da
unificação da fisica. Esta, por sua vez, está na dependência de uma
revisão profunda na teoria da relatividade geral, no sentido mesmo
buscado pelo próprio Einstein, de modo a fazê-Ia sensível ao
comprometimento massa/espaço que significa fazer de G uma
constante limiar onto-Iógica, tal como já são c e h.

lR

>:.: .:-:\?;. ~:, / -~'~' .. ,

. ,:~~ : :~:-:~ .~:~:~r;

Problemática da unificação da física

Gravit~ãoG
newtoruana

0! (M,L)

T

Relatividade
geral c, 0 I

C i {L,TI
T

---------

Relatividade

Y' restrita c

Y'
C

---

Mecânica

clássica

c

"I Mecânica

• _ 9~~ntici1 _h .

ht\M,TI

~

c, h (L,TI IM,TI

h~ __ ~ ,

•• I Eletro-dinâm.]

I ,. hl

i'l~lti~~ __

c.h T {L,TI {M,TI

~

Figura 2

5. As conseqüências

Em suma, como evidencia a figura 2, existe uma anomalia
com a constante G, a única que o seria sem que o fosse por
conta de um compromisso essencial entre um par de
grandezas fundamentais. A nosso ver, tal comprometimento
mútuo precisaria ser expressamente postulado e fato é que ele
jamais o foi, implícita ou explicitamente, nem nas teorias
newtoniana (daí se poder usar sem problemas a abstração do ponto

19

rr: .. -:!: .. '~~_,:""," ··· __ .,f, .•. ·

. ,. ' .. ".:'" ._",,"~~"'., .. :",;

material), nem na relatividade restrita, e ainda menos na
relatividade geral. Einstein acreditou, pelo menos até 1939,
quando publicou o artigo já mencionado na nota 16, que ele estaria
implícito nesta última, e como já dito, tentou mesmo demonstrá-lo
através de um engenhoso "experimento de pensamento", que,
entretanto, não foi jamais aceito (com certa razão) ou tão
simplesmente considerado no seu propósito pela comunidade
científica, com a exceção recente de Berstein [22]. Sabe-se, por
outro lado, segundo testemunho de Freeman Dyson, que Einstein
chegou a manifestar a opinião que a singularidade (ou a existência
de buracos negros) era um defeito a ser removido de sua teoria
por uma melhor formulação matemática [23].

Tudo parece-nos agora suficientemente claro, e não vemos
daqui por diante outra alternativa senão a de afirmar a necessidade
de se postular explicitamente o cliname de Planck como um valor
limite superior, o que viria então justificar o estatuto de
universalidade da constante G como um valor limite inferior
(inferior, dado que G é inversamente proporcional a as).

Introduzido o postulado acima, é interessante observar,
estaria aberto naturalmente o caminho para a conjectura acerca da
existência de um cliname próprio (ao) [24] - similar ao momento
angular próprio e à massa própria - e, a partir daí, para serem
criadas as condições experimentais de sua constatação empírica.
Ver figura 3.

De acordo com esta conjectura, tudo se passaria como se as
"linhas de força radiais" do campo gravitacional de duas massa em
interação colapsassem abaixo de uma certa distância (cerca de
10-20 m) e convergissem todas, mutuamente, de uma massa sobre
a outra; a força gravitacional, em conseqüência, teria um aumento
gigantesco (superior 1040 vezes, equiparando-a em intensidade às
demais forças), de sorte que, dentro desta distância, ela passaria a
ter o valor constante Gao2. Com isto, evitar-se-ia a ocorrência de

20

_""'0,"'""";'''

=. - -":-. ~!~:-\-'":-~. ~~"t~···:t~-~: .. .. :." ~ '.

,''J,_" ~", "j
..• d"

Gravitação própria

I d- d, !
\4---

F = Gao2

Figura 3

uma singularidade no campo gravitacional e, ainda, se estaria
abrindo o caminho para a compatibilização da força gravitacional
com as outras forças já quantifícadas.

21

.. ': "' ":' :","' ;,~;'

. . .. ' ,.

'.! ,.~':~ ". ~ '~'! ~.l~· '.:~

NOTAS

1. BORROW, John. Theories of everything. New York, Fawcett Columbine,
1991. p. 119, gozando as especulações em tomo das constantes universais

2. Veja-se o tom geral destas palavras, em especial a referência a Kant, aí
implícito o seu transcendentalismo lógico: "O fato de a totalidade de
nossas experiências sensoriais ser tal que é possivel pô-Ias em ordem por
meio de pensamento (operações com conceitos e uso de relações
funcionais definidas entre eles, e a coordenação das experiências
sensoriais com esses conceitos) é por si mesmo assombroso, mas constitui
algo que jamais compreenderemos. Podemos dizer que "o eterno mistério
lia mundo é sua compreensibtlidade ", Uma das grandes percepções de
lmmanuel Kant foi que, sem essa compreensíbilidade, a afirmação da
existência de um mundo externo real seria destituída de sentido. Albert
Einstein. Escritos da maturidade." Rio de Janeiro, Nova Fronteira,
1994.p.65

3. Cf Luiz Sergio Coelho de Sampaio. Princípio amrôpico - Um novo
fundamento e uma Significação renovada. Rio de Janeiro, UAB, 1997.
(xerografado ).

4. Cf. Luiz Sergio Coelho de Sampaio. Apontamentos para uma história da
flsica moderna. Rio de Janeiro, UAB, /997 (xerografàdo).

5. Citado por Dominique Lecourt in COHEN-TANNOUDJI, GilIes. Les
constantes universelles; Introduct ion. Paris, Hachette, 1998.

6. BORROW, John. Theories ofeverything. New York, Fawcett Columbine,
1991.p. 118

7. COHEN- T ANNOUDJI, Gilles. Les constantes universelles. Paris,
Hachette, 1998. pp. 26,23-124

8. Ibid, p. 26

9. SAMPAlO, Luiz Sergio Coelho de. Apontamentos para uma história da
fisica moderna. Rio de Janeiro, UAB, 1997

10. Ibid Para maiores detalhes sobre as lógicas, ver também SAMPAlO, L.

S. C. de. Noções elementares de lógica, Tomo l, Rio de Janeiro, Inst C-N,
1988.

11. SAMPAlO, Luiz Sergio Coelho de. Apontamentos para uma história da
fisica moderna.

12.lbid

13. EDDINGTON, Arthur. Fundamental theory. Cambrídge, Cambridge U.

P., 1949. pp. 169 e 216

22

""~~;~ ;, > • ~ '.; ,:'

~ .~~-:.:~~~ ••• ~~~'~:_:::.~ .:~~ l.. {.

t

i

e

14. Rowan-Robinson, Michael. Cosmology. Oxford, Clarendon Press 1996.
pp. 141-142.

15. Tecnicamente este é expresso no fato da função de onda para um par de
fermions ser necessariamente antisimétrica, o que implica uma
probabilidade zero de sua copresença.

16. "A grandeza cliname deve ser encarada como tão fundamental como o
são a massa e o spin. A propósito, este último pode servir de paradigma
para a compreensão que queremos aqui atribuir ao cliname. O spin não é
necessariamente o resultado da divisão de uma massa por uma
frequência, podendo comparecer como spin próprio, vale dizer como uma
grandeza irredutivel. Do mesmo modo deve-se considerar o cliname, não
necessariamente o resultado da divisão de uma massa por um
comprimento, como por exemplo, a divisão da massa pelo raio de um
corpo homogêneo esférico.]. .. } O termo c/iname foi escolhido como uma
homenagem a Epicuro que o utilizou para nomear a tendência que os
corpos em queda apresentariam de desviarem-se da vertical, o que podia
então explicar o aparecimento de vórtices responsáveis pelo processo de
composição e decomposição dos átomos. me também atribuiu peso (ou
massa) aos átomos, que segundo Demôcrito. possuíam apenas tamanho e
forma. Por tudo isto, pareceu-nos que poderíamos tomar o cliname
epicúreo como um conspícuo ancestral do nosso de dimensão sa:' e,
conseqüentemente, da força gravitacional. A variável c/iname, devemos
enjàtizar, não pode ser considerada como a mera divisão de uma massa
por uma distância, mas sim como uma grandeza autônoma, integral, tal
como hoje consideramos ser o momento angular próprio ou spin:"
SAMPAlO, Apontamentos, p. 36.

17. "Ce qui caractérise Ia physique newtonienne, c 'est qu 'elle est obligée
d'attribuer, à côté de Ia matiêre, à "espace et au temps, une existence
réelle et indépendente. Car dans Ia loi du mouvement de Newton figure
i'accélération. Mais l'accélération dans cette théorie ne peut signifier que
"l'accélération par repport à I 'espace ". L 'espace newtonien dou par
conséquent être considéré comme étant "au repos ", " Albert Einstein, La
rélativité. Paris, Payot., 1994.

18. Cf EINSTEIN, Albert. On a stationary system with spherical symmetry
consisting of many gravitating masses in Annals of Mathematics, 40, 922,
1939.

19. OPPENHEIMER, J. R. e SNYDER, H. S. On Continued Gravitational
Contraction, Phys. Rev., 56, 455, 1939.

21

~: f ~#~ ' •• ~: ' ~ ~\ ~ ~:

. ~ ~~. \. . ~i ~ .l~~,:- ~,~

t
\

..;

20. Dada uma massa esférica M, existe um mio Rc, dito raio de
Schwarzscbild, que constitui seu horizonte de eventos. Isto quer dizer que
se tal massa fosse compactada numa esfera de raio minimamente inferior
a Rc, nada mais poderia deixar a sua superficie em razão de que a
velocidade de escape estaria superando a velocidade da luz.
Curiosamente, tanto na mecânica clássica como na relatividade geral,
Rc =2GM/c2•

21. COHEN- T ANNOUDJI, Gilles. Les constantes universeiles. Paris,
Hachette, 1998. pp. 124-125

22. Cf BERSTEIN, Geremy The re/uctant father of b/ack holes. Scientitíc
American, June, 1996. pp. 66-72.

23. Segundo testemunho de Freeman Dyson in The Scientist as rebel, New
York Review ofBooks, 25,1995, p. 32 citado em John Horgan, The end
of science, 1996.

24. Duas partículas dotadas de cliname próprio, quando a uma distância
menor do que um valor limite do, se atrairiam não mais segundo a
fórmula de Newton, mais com uma força constante de valor F = G (aoi ,
onde <lu é o valor do c1iname próprio (~lOlo kglm) a cada uma delas.
Para maiores esclarecimentos, voltar á nota 16 anterior.

I

/.

24

.4 .-' ~~... ~~'. J

.. ~~~ :'. ~,,:~~,~;~ :~~~ ... /'#